第二节 线性方程组解的情况及判别准则

解的判别

我们来证明上一篇的定理：
n 元线性方程组经过初等行变换化成阶梯形。
设阶梯形矩阵 J 有 r 个非零行，显然 J 有 n+1 列，最后一个非零行是第 r 行。
情况 1：出现则原方程组无解 （无需证明）
情况 2：不出现

• J 的第 r 个主元不能位于第 n+1 列，因此行指标
• 第一行的主元位于第一列，第二行位于第二列或向右几列，但随着行数增多第 r 行的主元的列指标 t 会
  所以， 即非零行的数目不可能超过未知量的个数。我们继续分两种情况讨论。 $$J （阶梯形矩阵）\xrightarrow[]{初等行变换}J_1(简化行阶梯形矩阵)$$ 为了方便，我们把阶梯形矩阵进一步转化，其中 J1 也有 r 个非零行，从而 J1 有 r 个主元。
  情况 2.1：
  此时 J1 有 n 个主元，形状如下 $$J_1= \begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0&c_1 \\\\ 0&1&\cdots&0&c_2 \\\\ \cdots & \cdots \\\\ 0&0&\cdots&1&c_n \\\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} \rightarrow 只有唯一解:(c_1, c_2, \cdots ,c_n)$$ 情况 2.2： $$J_1= \begin{pmatrix} 1 \\\\ 0&\cdots&0&1 \\\\ 0&\cdots&\cdots&0&\cdots&1 \end{pmatrix}$$ 其中包括第二个主元的列设为$j2j_3x_1x{j2}x{j_r}$。方程组（一般解）如下 $$\begin{cases} x_1=b_{11}x_{i_1}+b_{12}x_{i_2}+\cdots + b_{1,n-r}x_{i_{n-r}} + d_1 \\\\ x_{j_2}= b_{21}x_{i_1}+b_{22}x_{i_2}+\cdots + b_{2,n-r}x_{i_{n-r}} + d_2 \\\\ \cdots \\\\ x_{j_r}=b_{r1}x_{i_1}+b_{r2}x_{i_2}+\cdots + b_{r,n-r}x_{i_{n-r}} + d_r \end{cases}$$ 因为 r<n,所以等号左侧的主变量个数也小于 n，右边肯定还有自由未知量可以取任意值，所以解是无数组。
  下面给出几个概念：

1. 化成最终的阶梯形矩阵可能不同，但非零行数目一定相同，非零行的数目由矩阵的秩(Rank)决定。
2. 如果一个线性方程组有解，那么称它是相容的，否则称它是不相容的。
3. 上述解线性方程组的方法称为高斯-约当算法。
4. 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，(0,0,0,….)是齐次线性方程组的一个解，称为零解，其余的解(如果有)称为非零解。 $$齐次线性方程组： \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0 \\\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0 \\\\ \cdots \\\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+\cdots+a_{sn}x_n=0 \\\\ \end{cases}$$ 推论 1：n 元齐次线性方程组的系数矩阵经过初等行变换化成的阶梯形矩阵的非零行个数 r<n <===> 齐次线性方程组有非零解且它有无数组解。
   推论 2：n 元齐次线性方程组 如果方程的个数 s<n，同时，则有非零解。

解、数域

解是在有理数集（或实数集，或复数集）内的。不可能取整数集，因为限制过高连最基本 2x=1 都无解。
给出以下定义
定义 1：复数集的一个非空子集 K 如果满足

1. 至少两个元素。
2. 
   那么称 K 是一个数域。已有的数域包括有理数域 Q、实数域 R、复数域 C等等。整数集 Z不是，因为它对除法不封闭（运算结果不属于整数集）。

行列式

关于以上讨论的 n 元线性方程组解的判别方法，自然会发现其不便之处，只有解到最后的阶梯形矩阵才判断出解的情况，因此需要探索一种新的解判别方法。
以二元一次方程组为例，其中$a{11},a{21}a_{11}\neq 0$。

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2= b_2 \end{cases}$$ $$\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&b_1 \\\\ a_{21}&a_{22}&b_2 \end{pmatrix} \xrightarrow[]{②+①×(-\frac{a_{21}}{a_{11}})} \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&b_1 \\\\ 0&a_{22}-\frac{a_{21}}{a_{11}}a_{12}&b_2-\frac{a_{21}}{a_{11}}b_1 \end{pmatrix} \longrightarrow M: \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&b_1 \\\\ a_{21}&\frac{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}{a_{11}}&b_2-\frac{a_{21}}{a_{11}}b_1 \end{pmatrix}$$

此时对元素 $m{22}a{11}a{22}-a{21}a{12} \neq 0a{11}a{22}-a{21}a_{12} = 0$，若常数项不为零则无解，常数项为零则有无数解。
所以以上表达式：

$$\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right| := a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$$

称为二阶行列式，也是原方程组系数矩阵的行列式。