第四节 行列式的性质

性质 1

一个矩阵的行列式按行和列排序结果是相同的，如果交换一个矩阵的行和列，其行列式是否会发生改变呢？

答案是不变

$$设n级矩阵：A=(a_{ij})= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\\\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{pmatrix}$$

把行列互换

$$A^\top = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\\\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\\\ a_{1n} &a_{2n} & \cdots &a_{nn} \end{pmatrix}$$

变换后的矩阵称为矩阵 A 的转置，记作。

$$|A^\top| \xlongequal[]{列指标成自然序}\sum_{i_1i_2 \cdots i_n} (-1)^{i_1i_2 \cdots i_n}a_{1i_1}a_{2i_2}\cdots a_{ni_n} \xlongequal[]{行指标成自然序}|A|$$

上式已在上篇文章证明。所以
性质 1：

性质 2

若 ，则

$$|B|: \quad \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}= k|A|: \quad k \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

证明：

$$\begin{align} 左边=&\sum_{j_1j_2 \cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2 \cdots j_n)}a_{1j_1} \cdots ka_{ij_i} \cdots a_{nj_n} \\\\ =& k \sum_{j_1j_2 \cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2 \cdots j_n)}a_{1j_1} \cdots a_{ij_i} \cdots a_{nj_n} \\\\ =& 右边 \end{align}$$

注：性质 2 中 k=0 也成立，行列式有一行全为零则值为零。

性质 3

行列式中有某一行式两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和，这两个行列式的这一行分别是第一组数和第二组数，而其余各行与原来行列式的相应各行相同，即

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ 第i行:b_1+c_1 & b_2+c_2 & \cdots & b_n+c_n \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ b_1 & b_2 & \cdots & b_n \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ c_1 & c_2 & \cdots & c_n \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

证明：

$$\begin{align} 左边=&\sum_{j_1j_2 \cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2 \cdots j_n)}a_{1j_1} \cdots (b_{j_i}+c_{j_i}) \cdots a_{nj_n} \\\\ =&\sum_{j_1j_2 \cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2 \cdots j_n)}a_{1j_1} \cdots b_{j_i} \cdots a_{nj_n} + \sum_{j_1j_2 \cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2 \cdots j_n)}a_{1j_1} \cdots c_{j_i} \cdots a_{nj_n}\\\\ =& 右边 \end{align}$$

性质 4

对于 2 阶行列式有

$$\begin{align} \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\\\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} =& a_1b_2 - a_2b_1 \\\\ \begin{vmatrix} b_1 & b_2 \\\\ a_1 & a_2 \end{vmatrix} =&b_1a_2 - b_2a_1 = -(a_1b_2-a_2b_1) \end{align}$$

n 阶行列式也有此性质：两行互换，行列式反号。

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} =- \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

证明：

$$\begin{align} 左边=&-\sum_{j_1 \cdots j_i \cdots j_n \cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1 \cdots j_k \cdots j_i \cdots j_n)}a_{1j_1} \cdots a_{kj_i} \cdots a_{ij_i} \cdots a_{nj_n} \\\\ =& -\sum_{j_1 \cdots j_k \cdots j_i \cdots j_n}(-1)\cdot(-1)^{\tau(j_1 \cdots j_k \cdots j_i \cdots j_n)}a_{1j_1} \cdots a_{ij_i} \cdots a_{kj_i} \cdots a_{nj_n} \\\\ =& \sum_{j_1 \cdots j_k \cdots j_i \cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1 \cdots j_k \cdots j_i \cdots j_n)}a_{1j_1} \cdots a_{ij_i} \cdots a_{kj_i} \cdots a_{nj_n} \\\\ =& 右边 \end{align}$$

性质 5

如果两行相等，行列式的值为零。

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} =0$$

证明：
根据性质 4，互换相同的那两行

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} =- \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

都移到左边，二倍的行列式为零，所以行列式的值为零。

性质 6

两行成比例，行列式的值为零。
根据性质 5 和性质 2，提出一个常数再移项即可得到性质 5 的式子，所以行列式为零。

性质 7

把一行的倍数加到另一行，行列式的值不变。

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{k1}+la_{i1} & a_{k2}+la_{i2} & \cdots & a_{kn}+la_{in} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

证明：根据性质 3 和性质 6

$$\begin{align} 左边=& \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ la_{i1} & la_{i2} & \cdots & la_{in} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \\\\ =&\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}+0=右边 \end{align}$$

例题 1：
求

$$\begin{vmatrix} k & \lambda & \lambda & \cdots & \lambda \\\\ \lambda & k & \lambda & \cdots & \lambda \\\\ \lambda & \lambda & k & \cdots & \lambda \\\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \\\\ \lambda & \lambda & \lambda & \cdots & k \end{vmatrix}=?$$

化成上三角形，先将各列加到第一列。

$$原式= \begin{vmatrix} k+(n-1)\lambda & \lambda & \lambda & \cdots & \lambda \\\\ k+(n-1)\lambda & k & \lambda & \cdots & \lambda \\\\ k+(n-1)\lambda & \lambda & k & \cdots & \lambda \\\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \\\\ k+(n-1)\lambda & \lambda & \lambda & \cdots & k \end{vmatrix} =[k+(n-1)\lambda] \begin{vmatrix} 1 & \lambda & \lambda & \cdots & \lambda \\\\ 1 & k & \lambda & \cdots & \lambda \\\\ 1 & \lambda & k & \cdots & \lambda \\\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \\\\ 1 & \lambda & \lambda & \cdots & k \end{vmatrix}$$

第一行的负一倍加到下一行。

$$=\begin{vmatrix} 1 & \lambda & \lambda & \cdots & \lambda \\\\ 0 & k-\lambda & 0 & \cdots & 0 \\\\ 0 & 0 & k-\lambda & \cdots & 0 \\\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \\\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & k-\lambda \end{vmatrix} =\[k+(n-1) \lambda\](k-\lambda)^{n-1}$$