行列式的一道例题

题目来自教材习题 2.2 第五题
下述行列式是 x 的几次多项式?分别求出$x^4$和$x^3$的系数

$$\begin{vmatrix} 5x & x & 1 & x \\\\ 1 & x & 1 & -x \\\\ 3 & 2 & x & 1 \\\\ 3 & 1 & 1 & x \end{vmatrix}$$

能取到的最高项也就是主对角线的乘积，所以是 4 次多项式。
其中一个四次项的系数是主对角线，也就是 5，可以选中一个 x 去凑另一个四次项，显然凑不出来。
选择一行的 x 分别凑一个三次项，如图

按行指标排列如下

$$a_{14}a_{22}a_{33}a_{41}$$

列指标排列为 4231，其逆序数为 5，是奇排列，故系数为-3。
再凑一个

列指标排列为 2431，逆序数为 4，是偶排列，故系数为-3。

列指标排列为 1432，逆序数为 3，是奇排列，故系数为 5 。

列指标排列为 2134，逆序数为 1，是奇排列，故系数为-1。
所以，三次项系数为-2。
nnd 答案错了