第一节 线性方程组的解法

解线性方程组的矩阵消元法

例 1：

$$\begin{cases} x_1+3x_2+x_3=2 \\\\ 3x_1+4x_2+2x_3=9 \\\\ -x_1-5x_2+4x_3=10 \\\\ 2x_1+7x_2+x_3=1 \end{cases}$$ $$\begin{pmatrix} 1&3&1&2\\\\ 3&4&2&9\\\\ -1&-5&4&10\\\\ 2&7&1&1\\\\ \end{pmatrix}$$

我们所学过的加减消元法没有一定的规律。要使用计算机来解就要有一个规律。
首先，以第一个方程为基础消去

$$\begin{cases} \begin{align} x_1+3x_2+x_3=&2 \\\\ -5x_2-x_3=&3 \quad ➁+➀\cdot(-3) \\\\ -2x_2+5x_3=&12 \quad ➂+➀\cdot1 \\\\ x_2-x_3=&-3 \quad ➃+➀ \cdot(-2) \end{align} \end{cases}$$

消去选择方程 ➁➂ 会出现分数，所以我们这次选择方程 ➃ 为基础。
调换 ➁➃

$$(②,④) \begin{cases} \begin{align} x_1+3x_2+x_3=&2 \\\\ x_2-x_3=&-3 \\\\ -2x_2+5x_3=&12 \\\\ -5x_2-x_3=&-3 \end{align} \end{cases}$$

以上消去的步骤省略，我们来看矩阵的解法。

$$\begin{pmatrix} 1&3&1&2\\\\ 3&4&2&9\\\\ -1&-5&4&10\\\\ 2&7&1&1\\\\ \end{pmatrix} \xrightarrow[]{➁+➀ \cdot3,➂+➀ \cdot1,➃+➀ \cdot(-2)} \begin{pmatrix} 1&3&1&2 \\\\ 0&-5&-1&3 \\\\ 0&-2&5&12 \\\\ 0&1&-1&-3 \end{pmatrix} \xrightarrow[]{(➁,➃)} \begin{pmatrix} 1&3&1&2 \\\\ 0&1&-1&-3 \\\\ 0&-2&5&12 \\\\ 0&-5&-1&3 \end{pmatrix}$$ $$\xrightarrow[]{➂+➁ \cdot2,➃+➁ \cdot5} \begin{pmatrix} 1&3&1&2 \\\\ 0&1&-1&-3 \\\\ 0&0&3&6 \\\\ 0&0&-6&-12 \end{pmatrix} \xrightarrow[]{➃+➂ \cdot 2} \begin{pmatrix} 1&3&1&2\\\\ 0&1&-1&-3 \\\\ 0&0&3&6 \\\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}$$

遇到全为零的一行（零行），我们来看一下此时的方程。

$$\begin{cases} \begin{align} x_1+3x_2+x_3=&2 \\\\ x_2-x_3=&-3 \\\\ 3x_3=&6 \end{align} \end{cases}$$

从下向上，可以依次解出三个 x 的值。这样的方程组叫做阶梯形方程组，矩阵叫做阶梯形矩阵。
矩阵每行第一个不为零的元素称为主元。
阶梯形矩阵：

1. 零行在下方。
2. 非零行主元的列指标随着行指标的增加而严格增大。
   我们继续

$$\xrightarrow[]{➂ \cdot \frac{1}{3}} \begin{pmatrix} 1&3&1&2 \\\\ 0&1&-1&-3 \\\\ 0&0&1&2 \\\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \xrightarrow[]{➁+➂ \cdot 1, ➀+➂ \cdot (-1)} \begin{pmatrix} 1&3&0&0 \\\\ 0&1&0&-1 \\\\ 0&0&1&2 \\\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \xrightarrow[]{➀+➁ \cdot (-3)} \begin{pmatrix} 1&0&0&3 \\\\ 0&1&0&-1 \\\\ 0&0&1&2 \\\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}$$

此时, 方程的解如下。

$$\begin{cases} x_1=3 \\\\ x_2=-1 \\\\ x_3=2 \end{cases}$$

可以表示为

$$(3, -1, 2)$$

同时，又出现了最终的阶梯形矩阵，其特点是

1. 主元都是 1
2. 主元所在列的其余元素都是 0
   叫做简化行阶梯形矩阵。得到这个矩阵我们的求解任务就完成了。
   在这个过程中用到了三种变换方式：
3. 把一行的倍数加到另一行
4. 两行互换
5. 一行乘一个非零数
   这三种变换叫做矩阵的初等行变换，对应线性方程组的初等变换。
   初等变换不会影响方程组的解集，所以变换前后两个方程组是同解。
   例 2 ： $$\begin{pmatrix} 1&-1&1&1 \\\\ 1&-1&-1&3 \\\\ 2&-2&-1&5 \end{pmatrix} \xrightarrow[]{②+①\cdot(-1),③+①\cdot(-2)} \begin{pmatrix} 1&-1&1&1 \\\\ 0&0&-2&2 \\\\ 0&0&-3&3 \end{pmatrix} \xrightarrow[]{②\cdot (-\frac{1}{2}),③ \cdot (-\frac{1}{3})} \begin{pmatrix} 1&-1&1&1 \\\\ 0&0&1&-1 \\\\ 0&0&-1&1 \end{pmatrix} \xrightarrow[]{②+③} \begin{pmatrix} 1&-1&1&1 \\\\ 0&0&1&-1 \\\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \xrightarrow[]{①+②} \begin{pmatrix} 1&-1&0&2 \\\\ 0&0&-1&1 \\\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}$$ 简化方程组： $$\begin{cases} \begin{align} x_1-x_2=&2 \\\\ x_3=&-1 \\\\ 0=&0 \end{align} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x_1=x_2+2 \\\\ x_3=-1 \end{cases}$$ 这个表达式称为原方程组的一般解，其中以主元为系数的未知量称为主变量，其余未知量称为自由未知量。一般解就是含自由未知量的式子表示主变量。
   例 3： $$\begin{pmatrix} 1&-1&1&1 \\\\ 1&-1&-1&3 \\\\ 2&-2&-1&3 \end{pmatrix} \xrightarrow[]{②+①\cdot(-1),③+①\cdot(-2)} \begin{pmatrix} 1&-1&1&1 \\\\ 0&0&-2&2 \\\\ 0&0&-3&1 \end{pmatrix} \xrightarrow[]{②\cdot (-\frac{1}{2})} \begin{pmatrix} 1&-1&1&1 \\\\ 0&0&1&-1 \\\\ 0&0&-3&1 \end{pmatrix} \xrightarrow[]{③+②×3} \begin{pmatrix} 1&-1&1&1 \\\\ 0&0&1&-1 \\\\ 0&0&0&-2 \end{pmatrix}$$ 最后相应的阶梯形方程组为 $$\begin{cases} \cdots \\\\ \cdots \\\\ 0x_1+0x_2+0x_3=-2 \end{cases}$$ 显然最后一个方程无解，则整个方程组无解。
   综上：在有理数集（或实数集，或复数集）内，n 元线性方程组的解的情况有且只有三种可能
6. 无解：其中一个方程组出现””，否则原方程组有解。
7. 有唯一解：非零行的数目等于未知量数。
8. 有无穷多个解：非零行的数目小于未知量数。
   有解的两种情况我们作为定理 1，在下一篇文章给予证明。